Exponentialfunktion durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
Aufgabe Neue Aufgabe
Gegeben seien die Punkte $P_1(\, 2 \mid -1 \,)$ und $P_2(\, 4{,}5 \mid -3{,}5 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion durch $P_1$ und $P_2$. Zeichne den Graphen.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & c \cdot a^x \\[2mm] P_1:\; & -1 & = & c\cdot a^{ 2 } \\[1mm] P_2:\; & -3{,}5 & = & c\cdot a^{ 4{,}5 } \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Divisionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcll}
I:\; & -1 & = & c &\cdot& a^{ 2 } & \\ II:\; & -3{,}5 & = & c &\cdot& a^{ 4{,}5 } & \\ \hline II:I:\; & 3{,}5 & = & 1 &\cdot& a^{ 2{,}5 } & \quad 2{,}5 = 4{,}5 - 2
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
a^{ 2{,}5 } & = & 3{,}5 & \quad\mid\;\;\sqrt[ 2{,}5 ]{\Rule{0pt}{1ex}{0pt}\quad} \\[.5mm] a & \approx & \underline{ 1{,}65 } & \\[.5mm] [\dots]\quad c & \approx & \underline{ -0{,}367 } & \\[3mm] f(x) & = &
-0{,}367 \cdot 1{,}65 ^{x} & \\ \hline
\end{array}\]
Graph: Anzeigen
