Exponentialfunktion durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
Aufgabe Neue Aufgabe
Gegeben seien die Punkte $P_1(\, 1 \mid 1 \,)$ und $P_2(\, 5 \mid 3 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion durch $P_1$ und $P_2$. Zeichne den Graphen.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & c \cdot a^x \\[2mm] P_1:\; & 1 & = & c\cdot a^{ 1 } \\[1mm] P_2:\; & 3 & = & c\cdot a^{ 5 } \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Divisionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcll}
I:\; & 1 & = & c &\cdot& a^{ 1 } & \\ II:\; & 3 & = & c &\cdot& a^{ 5 } & \\ \hline II:I:\; & 3 & = & 1 &\cdot& a^{ 4 } & \quad 4 = 5 - 1
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
a^{ 4 } & = & 3 & \quad\mid\;\;\sqrt[ 4 ]{\Rule{0pt}{1ex}{0pt}\quad} \\[.5mm] a & \approx & \underline{ 1{,}31 } & \\[.5mm] [\dots]\quad c & \approx & \underline{ 0{,}759 } & \\[3mm] f(x) & = &
0{,}759 \cdot 1{,}31 ^{x} & \\ \hline
\end{array}\]
Graph: Anzeigen
