Stammfunktion der Exponentialfunktion mit Formansatz
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = 0.5\,x\,e^ {- 3\,x } $
Ermitteln Sie mit einem Formansatz eine Stammfunktion $F'(x)$.
Formansatz: Anzeigen
\[ F(x)=( a\,x+b )\cdot e^ {- 3\,x } \]
Teilfunktionen und Ableitungen: Anzeigen
\begin{array}{rclcrcl}
u(x) & = & a\,x+b & \quad & u'(x) & = & a \\ v(x) & = & e^ {- 3\,x }
& & v'(x) & = & -3\,e^ {- 3\,x }
\end{array}
Ableitung des Formansatzes: Anzeigen
\[ F'(x) = \left(-3\,a\,x-3\,b+a\right)\,e^ {- 3\,x } \]
Gleichungssystem lösen: Anzeigen
\[ \begin{array}{rrcl}
I: & 0.5 & = & -3\,a \\ II: & 0 & = & a-3\,b \\
\end{array} \]
\[ a = -{{1}\over{6}} \quad b = -{{1}\over{18}} \]
Ergebnis: Anzeigen
\[ F(x) = \int f(x)\; dx = \left( -{{x}\over{6}}-{{1}\over{18}} \right)\cdot e^ {- 3\,x } + C \]