Integration ganzrationaler Funktionen
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3\,x^3+27\,x^2-69\,x+45 $.
Ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und der $x$-Achse insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\[ \mathrm{Nullstellen: }
\quad x_1 = 1
\quad x_2 = 3
\quad x_3 = 5
\]
Graph: Anzeigen
Stammfunktion: Anzeigen
\[ F(x) = -{{3\,x^4}\over{4}}+9\,x^3-{{69\,x^2}\over{2}}+45\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{3} f(x) \, dx & = & \left[
-{{3\,x^4}\over{4}}+9\,x^3-{{69\,x^2}\over{2}}+45\,x \right]_{1}^{3} \\ & = & ( 6.75 ) - ( 18.75
) = - 12 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{3}^{5} f(x) \, dx & = & \left[
-{{3\,x^4}\over{4}}+9\,x^3-{{69\,x^2}\over{2}}+45\,x \right]_{3}^{5} \\ & = & ( 18.75 ) - ( 6.75
) = 12 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| - 12 | \mathrm{\;FE}
+ | 12 | \mathrm{\;FE}
= 24 \mathrm{\;FE} \]