Integration ganzrationaler Funktionen
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = 0.5\,x^4-2.5\,x^2+2 $.
Ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und der $x$-Achse insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\[ \mathrm{Nullstellen: }
\quad x_1 = -2
\quad x_2 = -1
\quad x_3 = 1
\quad x_4 = 2
\]
Graph: Anzeigen
Stammfunktion: Anzeigen
\[ F(x) = 0.1\,x^5-0.8333\,x^3+2\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-2}^{-1} f(x) \, dx & = & \left[ 0.1\,x^5-0.8333\,x^3+2\,x
\right]_{-2}^{-1} \\ & = & ( - 1.266 ) - ( - 0.5333 ) = - 0.7333 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^{1} f(x) \, dx & = & \left[ 0.1\,x^5-0.8333\,x^3+2\,x
\right]_{-1}^{1} \\ & = & ( 1.266 ) - ( - 1.266 ) = 2.533 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{2} f(x) \, dx & = & \left[ 0.1\,x^5-0.8333\,x^3+2\,x
\right]_{1}^{2} \\ & = & ( 0.5333 ) - ( 1.266 ) = - 0.7333 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| - 0.7333 | \mathrm{\;FE}
+ | 2.533 | \mathrm{\;FE}
+ | - 0.7333 | \mathrm{\;FE}
= 4 \mathrm{\;FE} \]