Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-6\,x^2+6\,x \\ g(x) & = & 6-5\,x \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = 1.267
\quad x_3 = 4.732
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = 1.2
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad T( 3.414|-9.656)
\quad H( 0.5857|1.656)
\\ g(x) : & \quad &
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( 1|1)
\quad P_2 = ( 2|-4)
\quad P_3 = ( 3|-9)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-6\,x^2+11\,x-6 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-2\,x^3+{{11\,x^2}\over{2}}-6\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{2} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-2\,x^3+{{11\,x^2}\over{2}}-6\,x \right]_{1}^{2} \\ & = & ( - 2 ) - ( - 2.25
) = 0.25 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{2}^{3} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-2\,x^3+{{11\,x^2}\over{2}}-6\,x \right]_{2}^{3} \\ & = & ( - 2.25 ) - ( - 2
) = - 0.25 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 0.25 | \mathrm{\;FE}
+ | - 0.25 | \mathrm{\;FE}
= 0.5 \mathrm{\;FE} \]