Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-5\,x^2+5\,x \\ g(x) & = & 6\,x-5 \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = 1.381
\quad x_3 = 3.618
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = 0.8333
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad T( 2.72|-3.268)
\quad H( 0.6125|1.416)
\\ g(x) : & \quad &
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( -1|-11)
\quad P_2 = ( 1|1)
\quad P_3 = ( 5|25)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-5\,x^2-x+5 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-{{5\,x^3}\over{3}}-{{x^2}\over{2}}+5\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^{1} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{5\,x^3}\over{3}}-{{x^2}\over{2}}+5\,x \right]_{-1}^{1} \\ & = & ( 3.083 ) - (
- 3.583 ) = 6.666 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{5} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{5\,x^3}\over{3}}-{{x^2}\over{2}}+5\,x \right]_{1}^{5} \\ & = & ( - 39.58 ) - (
3.083 ) = - 42.66 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 6.666 | \mathrm{\;FE}
+ | - 42.66 | \mathrm{\;FE}
= 49.33 \mathrm{\;FE} \]