Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-x^2+2\,x \\ g(x) & = & 6\,x-4 \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = 0.6666
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\\ g(x) : & \quad &
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( -2|-16)
\quad P_2 = ( 1|2)
\quad P_3 = ( 2|8)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-x^2-4\,x+4 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-{{x^3}\over{3}}-2\,x^2+4\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-2}^{1} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{x^3}\over{3}}-2\,x^2+4\,x \right]_{-2}^{1} \\ & = & ( 1.916 ) - ( - 9.333
) = 11.25 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{2} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{x^3}\over{3}}-2\,x^2+4\,x \right]_{1}^{2} \\ & = & ( 1.333 ) - ( 1.916 ) =
- 0.5833 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 11.25 | \mathrm{\;FE}
+ | - 0.5833 | \mathrm{\;FE}
= 11.83 \mathrm{\;FE} \]