Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-x^2-8\,x \\ g(x) & = & x^2-3\,x-6 \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = -2.372
\quad x_3 = 3.372
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = -1.372
\quad x_2 = 4.372
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad H( -1.333|6.518)
\quad T( 2|-12)
\\ g(x) : & \quad &
\quad T( 1.5|-8.25)
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( -2|4)
\quad P_2 = ( 1|-8)
\quad P_3 = ( 3|-6)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-2\,x^2-5\,x+6 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-{{2\,x^3}\over{3}}-{{5\,x^2}\over{2}}+6\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-2}^{1} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{2\,x^3}\over{3}}-{{5\,x^2}\over{2}}+6\,x \right]_{-2}^{1} \\ & = & ( 3.083
) - ( - 12.66 ) = 15.75 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{3} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{2\,x^3}\over{3}}-{{5\,x^2}\over{2}}+6\,x \right]_{1}^{3} \\ & = & ( - 2.25
) - ( 3.083 ) = - 5.333 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 15.75 | \mathrm{\;FE}
+ | - 5.333 | \mathrm{\;FE}
= 21.08 \mathrm{\;FE} \]