Quadratische Funktion in Normalform durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
Aufgabe Neue Aufgabe
Gegeben seien die Punkte $P_1(\, -0{,}5 \mid -2{,}75 \,)$ und
$P_2(\, -3{,}5 \mid -4{,}25 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der quadratischen Normalform durch $P_1$ und $P_2$.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & x^2 + p\cdot x + q \\[2mm] P_1:\; & -2{,}75 & = & (-0{,}5) ^2 + p\cdot (-0{,}5) + q \\[1mm] P_2:\; & -4{,}25 & = & (-3{,}5) ^2 + p\cdot (-3{,}5) + q \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Additionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcrcl}
I:\; & -2{,}75 & = & 0{,}25 &+& (-0{,}5) p &+& q \\ II:\; & -4{,}25 & = & 12{,}25 &+& (-3{,}5) p &+& q \\ \hline II-I:\; & -1{,}5 & = & 12 &+& (-3) p &+& 0
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
-1{,}5 & = & 12 + (-3) p & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] p & = & \underline{ 4{,}5 } & \\[2mm] [p \rightarrow I]\quad - 2{,}75 & = & 0{,}25 + 4{,}5 \cdot (-0{,}5)
+ q & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] q & = & \underline{ -0{,}75 } & \\[2mm] f(x) & = & x^2+4{,}5\,x-0{,}75 & \\
\end{array}\]