Exponentialfunktion durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
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Gegeben seien die Punkte $P_1(\, -3{,}5 \mid 1{,}5 \,)$ und $P_2(\, 2{,}5 \mid 5 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion durch $P_1$ und $P_2$. Zeichne den Graphen.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & c \cdot a^x \\[2mm] P_1:\; & 1{,}5 & = & c\cdot a^{ (-3{,}5) } \\[1mm] P_2:\; & 5 & = & c\cdot a^{ 2{,}5 } \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Divisionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcll}
I:\; & 1{,}5 & = & c &\cdot& a^{ -3{,}5 } & \\ II:\; & 5 & = & c &\cdot& a^{ 2{,}5 } & \\ \hline II:I:\; & 3{,}33 & = & 1 &\cdot& a^{ 6 } & \quad 6 = 2{,}5 - (-3{,}5)
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
a^{ 6 } & = & 3{,}33 & \quad\mid\;\;\sqrt[ 6 ]{\Rule{0pt}{1ex}{0pt}\quad} \\[.5mm] a & \approx & \underline{ 1{,}22 } & \\[.5mm] [\dots]\quad c & \approx & \underline{ 3{,}02 } & \\[3mm] f(x) & = &
3{,}02 \cdot 1{,}22 ^{x} & \\ \hline
\end{array}\]
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