Exponentialfunktion durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
Aufgabe Neue Aufgabe
Gegeben seien die Punkte $P_1(\, -6 \mid -3{,}5 \,)$ und
$P_2(\, 1 \mid -1{,}5 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion durch $P_1$ und $P_2$. Zeichne den Graphen.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & c \cdot a^x \\[2mm] P_1:\; & -3{,}5 & = & c\cdot a^{ (-6) } \\[1mm] P_2:\; & -1{,}5 & = & c\cdot a^{ 1 } \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Divisionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcll}
I:\; & -3{,}5 & = & c &\cdot& a^{ -6 } & \\ II:\; & -1{,}5 & = & c &\cdot& a^{ 1 } & \\ \hline II:I:\; & 0{,}428 & = & 1 &\cdot& a^{ 7 } & \quad 7 = 1 - (-6)
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
a^{ 7 } & = & 0{,}428 & \quad\mid\;\;\sqrt[ 7 ]{\Rule{0pt}{1ex}{0pt}\quad} \\[.5mm] a & \approx & \underline{ 0{,}885 } & \\[.5mm] [\dots]\quad c & \approx & \underline{ -1{,}69 } & \\[3mm] f(x) & = &
-1{,}69 \cdot 0{,}885 ^{x} & \\ \hline
\end{array}\]
Graph: Anzeigen