Exponentialfunktion durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
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Gegeben seien die Punkte $P_1(\, -4{,}5 \mid -4{,}5 \,)$ und $P_2(\, -2{,}5 \mid -3{,}5 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion durch $P_1$ und $P_2$. Zeichne den Graphen.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & c \cdot a^x \\[2mm] P_1:\; & -4{,}5 & = & c\cdot a^{ (-4{,}5) } \\[1mm] P_2:\; & -3{,}5 & = & c\cdot a^{ (-2{,}5) } \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Divisionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcll}
I:\; & -4{,}5 & = & c &\cdot& a^{ -4{,}5 } & \\ II:\; & -3{,}5 & = & c &\cdot& a^{ -2{,}5 } & \\ \hline II:I:\; & 0{,}777 & = & 1 &\cdot& a^{ 2 } & \quad 2 = -2{,}5 - (-4{,}5)
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
a^{ 2 } & = & 0{,}777 & \quad\mid\;\;\sqrt[ 2 ]{\Rule{0pt}{1ex}{0pt}\quad} \\[.5mm] a & \approx & \underline{ 0{,}881 } & \\[.5mm] [\dots]\quad c & \approx & \underline{ -2{,}55 } & \\[3mm]
f(x) & = & -2{,}55 \cdot 0{,}881 ^{x} & \\ \hline
\end{array}\]
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