Stammfunktion der Exponentialfunktion mit Formansatz
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \left(x+1\right)\,e^{2-3\,x} $
Ermitteln Sie mit einem Formansatz eine Stammfunktion $F'(x)$.
Formansatz: Anzeigen
\[ F(x)=( a\,x+b )\cdot e^{2-3\,x} \]
Teilfunktionen und Ableitungen: Anzeigen
\begin{array}{rclcrcl}
u(x) & = & a\,x+b & \quad & u'(x) & = & a \\ v(x) & = & e^{2-3\,x} & & v'(x) & = &
-3\,e^{2-3\,x}
\end{array}
Ableitung des Formansatzes: Anzeigen
\[ F'(x) = \left(-3\,a\,x-3\,b+a\right)\,e^{2-3\,x} \]
Gleichungssystem lösen: Anzeigen
\[ \begin{array}{rrcl}
I: & 1 & = & -3\,a \\ II: & 1 & = & a-3\,b \\
\end{array} \]
\[ a = -{{1}\over{3}} \quad b = -{{4}\over{9}} \]
Ergebnis: Anzeigen
\[ F(x) = \int f(x)\; dx = \left( -{{x}\over{3}}-{{4}\over{9}} \right)\cdot e^{2-3\,x} + C \]