Stammfunktion der Exponentialfunktion mit Formansatz
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = -3\,x\,e^{1.5\,x} $
Ermitteln Sie mit einem Formansatz eine Stammfunktion $F'(x)$.
Formansatz: Anzeigen
\[ F(x)=( a\,x+b )\cdot e^{1.5\,x} \]
Teilfunktionen und Ableitungen: Anzeigen
\begin{array}{rclcrcl}
u(x) & = & a\,x+b & \quad & u'(x) & = & a \\ v(x) & = & e^{1.5\,x} & & v'(x) & = &
1.5\,e^{1.5\,x}
\end{array}
Ableitung des Formansatzes: Anzeigen
\[ F'(x) = \left(1.5\,a\,x+1.5\,b+a\right)\,e^{1.5\,x} \]
Gleichungssystem lösen: Anzeigen
\[ \begin{array}{rrcl}
I: & -3 & = & 1.5\,a \\ II: & 0 & = & 1.5\,b+a \\
\end{array} \]
\[ a = -2 \quad b = {{4}\over{3}} \]
Ergebnis: Anzeigen
\[ F(x) = \int f(x)\; dx = \left( {{4}\over{3}}-2\,x \right)\cdot e^{1.5\,x} + C \]