Stammfunktion der Exponentialfunktion mit Formansatz
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \left(x-1\right)\,e^ {- x } $
Ermitteln Sie mit einem Formansatz eine Stammfunktion $F'(x)$.
Formansatz: Anzeigen
\[ F(x)=( a\,x+b )\cdot e^ {- x } \]
Teilfunktionen und Ableitungen: Anzeigen
\begin{array}{rclcrcl}
u(x) & = & a\,x+b & \quad & u'(x) & = & a \\ v(x) & = & e^ {- x } & & v'(x) & = &
-e^ {- x }
\end{array}
Ableitung des Formansatzes: Anzeigen
\[ F'(x) = \left(-1\,a\,x-1\,b+a\right)\,e^ {- x } \]
Gleichungssystem lösen: Anzeigen
\[ \begin{array}{rrcl}
I: & 1 & = & -1\,a \\ II: & -1 & = & a-1\,b \\
\end{array} \]
\[ a = -1 \quad b = 0 \]
Ergebnis: Anzeigen
\[ F(x) = \int f(x)\; dx = \left( -x \right)\cdot e^ {- x } + C \]