Stammfunktion der Exponentialfunktion mit Formansatz
Aufgabe Neue Aufgabe
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x\,e^{0.5\,x} $
Ermitteln Sie mit einem Formansatz eine Stammfunktion $F'(x)$.
Formansatz: Anzeigen
\[ F(x)=( a\,x+b )\cdot e^{0.5\,x} \]
Teilfunktionen und Ableitungen: Anzeigen
\begin{array}{rclcrcl}
u(x) & = & a\,x+b & \quad & u'(x) & = & a \\ v(x) & = & e^{0.5\,x} & & v'(x) & = &
0.5\,e^{0.5\,x}
\end{array}
Ableitung des Formansatzes: Anzeigen
\[ F'(x) = \left(0.5\,a\,x+0.5\,b+a\right)\,e^{0.5\,x} \]
Gleichungssystem lösen: Anzeigen
\[ \begin{array}{rrcl}
I: & 1 & = & 0.5\,a \\ II: & 0 & = & 0.5\,b+a \\
\end{array} \]
\[ a = 2 \quad b = -4 \]
Ergebnis: Anzeigen
\[ F(x) = \int f(x)\; dx = \left( 2\,x-4 \right)\cdot e^{0.5\,x} + C \]