Stammfunktion der Exponentialfunktion mit Formansatz
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = \left(2\,x-2\right)\,e^{x+2} $
Ermitteln Sie mit einem Formansatz eine Stammfunktion $F'(x)$.
Formansatz: Anzeigen
\[ F(x)=( a\,x+b )\cdot e^{x+2} \]
Teilfunktionen und Ableitungen: Anzeigen
\begin{array}{rclcrcl}
u(x) & = & a\,x+b & \quad & u'(x) & = & a \\ v(x) & = & e^{x+2} & & v'(x) & = &
e^{x+2}
\end{array}
Ableitung des Formansatzes: Anzeigen
\[ F'(x) = \left(a\,x+b+a\right)\,e^{x+2} \]
Gleichungssystem lösen: Anzeigen
\[ \begin{array}{rrcl}
I: & 2 & = & a \\ II: & -2 & = & b+a \\
\end{array} \]
\[ a = 2 \quad b = -4 \]
Ergebnis: Anzeigen
\[ F(x) = \int f(x)\; dx = \left( 2\,x-4 \right)\cdot e^{x+2} + C \]