Integration ganzrationaler Funktionen
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = -2\,x^3+18\,x^2-40\,x $.
Ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und der $x$-Achse insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\[ \mathrm{Nullstellen: }
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = 4
\quad x_3 = 5
\]
Graph: Anzeigen
Stammfunktion: Anzeigen
\[ F(x) = -{{x^4}\over{2}}+6\,x^3-20\,x^2 \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{4} f(x) \, dx & = & \left[ -{{x^4}\over{2}}+6\,x^3-20\,x^2
\right]_{0}^{4} \\ & = & ( - 64 ) - ( 0 ) = - 64 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{4}^{5} f(x) \, dx & = & \left[ -{{x^4}\over{2}}+6\,x^3-20\,x^2
\right]_{4}^{5} \\ & = & ( - 62.5 ) - ( - 64 ) = 1.5 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| - 64 | \mathrm{\;FE}
+ | 1.5 | \mathrm{\;FE}
= 65.5 \mathrm{\;FE} \]