Integration ganzrationaler Funktionen
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^3+2\,x^2-3\,x $.
Ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und der $x$-Achse insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\[ \mathrm{Nullstellen: }
\quad x_1 = -3
\quad x_2 = 0
\quad x_3 = 1
\]
Graph: Anzeigen
Stammfunktion: Anzeigen
\[ F(x) = {{x^4}\over{4}}+{{2\,x^3}\over{3}}-{{3\,x^2}\over{2}} \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-3}^{0} f(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}+{{2\,x^3}\over{3}}-{{3\,x^2}\over{2}} \right]_{-3}^{0} \\ & = & ( 0 ) - (
- 11.25 ) = 11.25 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1} f(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}+{{2\,x^3}\over{3}}-{{3\,x^2}\over{2}} \right]_{0}^{1} \\ & = & ( - 0.5833 ) - (
0 ) = - 0.5833 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 11.25 | \mathrm{\;FE}
+ | - 0.5833 | \mathrm{\;FE}
= 11.83 \mathrm{\;FE} \]