Integration ganzrationaler Funktionen
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = 3\,x^3+9\,x^2-12\,x $.
Ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und der $x$-Achse insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\[ \mathrm{Nullstellen: }
\quad x_1 = -4
\quad x_2 = 0
\quad x_3 = 1
\]
Graph: Anzeigen
Stammfunktion: Anzeigen
\[ F(x) = {{3\,x^4}\over{4}}+3\,x^3-6\,x^2 \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-4}^{0} f(x) \, dx & = & \left[ {{3\,x^4}\over{4}}+3\,x^3-6\,x^2
\right]_{-4}^{0} \\ & = & ( 0 ) - ( - 96 ) = 96 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1} f(x) \, dx & = & \left[ {{3\,x^4}\over{4}}+3\,x^3-6\,x^2
\right]_{0}^{1} \\ & = & ( - 2.25 ) - ( 0 ) = - 2.25 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 96 | \mathrm{\;FE}
+ | - 2.25 | \mathrm{\;FE}
= 98.25 \mathrm{\;FE} \]