Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3+x^2 \\ g(x) & = & -2\,x^2+x+3 \end{eqnarray*}
Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = -1
\quad x_2 = 0
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = -1
\quad x_2 = 1.5
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad T( 0|0)
\quad H( -0.6666|0.1481)
\\ g(x) : & \quad &
\quad H( 0.25|3.125)
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( -3|-18)
\quad P_2 = ( -1|0)
\quad P_3 = ( 1|2)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3+3\,x^2-x-3 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}+x^3-{{x^2}\over{2}}-3\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-3}^{-1} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}+x^3-{{x^2}\over{2}}-3\,x \right]_{-3}^{-1} \\ & = & ( 1.75 ) - ( - 2.25 ) =
4 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^{1} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}+x^3-{{x^2}\over{2}}-3\,x \right]_{-1}^{1} \\ & = & ( - 2.25 ) - ( 1.75 ) =
- 4 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 4 | \mathrm{\;FE}
+ | - 4 | \mathrm{\;FE}
= 8 \mathrm{\;FE} \]