Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-x^2-4\,x \\ g(x) & = & -x^2+3\,x-6 \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = -1.561
\quad x_3 = 2.561
\\ g(x) : & &
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad T( 1.535|-4.879)
\quad H( -0.8685|2.064)
\\ g(x) : & \quad &
\quad H( 1.5|-3.75)
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( -3|-24)
\quad P_2 = ( 1|-4)
\quad P_3 = ( 2|-4)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-7\,x+6 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-{{7\,x^2}\over{2}}+6\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-3}^{1} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{7\,x^2}\over{2}}+6\,x \right]_{-3}^{1} \\ & = & ( 2.75 ) - ( - 29.25 ) =
32 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{2} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{7\,x^2}\over{2}}+6\,x \right]_{1}^{2} \\ & = & ( 2 ) - ( 2.75 ) = - 0.75
\end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 32 | \mathrm{\;FE}
+ | - 0.75 | \mathrm{\;FE}
= 32.75 \mathrm{\;FE} \]