Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-8\,x^2+5\,x \\ g(x) & = & 10-12\,x \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = 0.6833
\quad x_3 = 7.316
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = 0.8333
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad T( 5|-50)
\quad H( 0.3333|0.8148)
\\ g(x) : & \quad &
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( 1|-2)
\quad P_2 = ( 2|-14)
\quad P_3 = ( 5|-50)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-8\,x^2+17\,x-10 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-{{8\,x^3}\over{3}}+{{17\,x^2}\over{2}}-10\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{2} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{8\,x^3}\over{3}}+{{17\,x^2}\over{2}}-10\,x \right]_{1}^{2} \\ & = & ( - 3.333
) - ( - 3.916 ) = 0.5833 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{2}^{5} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{8\,x^3}\over{3}}+{{17\,x^2}\over{2}}-10\,x \right]_{2}^{5} \\ & = & ( - 14.58
) - ( - 3.333 ) = - 11.25 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 0.5833 | \mathrm{\;FE}
+ | - 11.25 | \mathrm{\;FE}
= 11.83 \mathrm{\;FE} \]