Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
Aufgabe Neue Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3+4\,x^2-3\,x \\ g(x) & = & 6-4\,x \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = -4.645
\quad x_3 = 0.6457
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = 1.5
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad H( -3|18)
\quad T( 0.3333|-0.5185)
\\ g(x) : & \quad &
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( -3|18)
\quad P_2 = ( -2|14)
\quad P_3 = ( 1|2)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3+4\,x^2+x-6 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}+{{4\,x^3}\over{3}}+{{x^2}\over{2}}-6\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-3}^{-2} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}+{{4\,x^3}\over{3}}+{{x^2}\over{2}}-6\,x \right]_{-3}^{-2} \\ & = & ( 7.333 ) - (
6.75 ) = 0.5833 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-2}^{1} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}+{{4\,x^3}\over{3}}+{{x^2}\over{2}}-6\,x \right]_{-2}^{1} \\ & = & ( - 3.916
) - ( 7.333 ) = - 11.25 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 0.5833 | \mathrm{\;FE}
+ | - 11.25 | \mathrm{\;FE}
= 11.83 \mathrm{\;FE} \]