Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-x^2+3\,x \\ g(x) & = & 12\,x-9 \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = 0.75
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\\ g(x) : & \quad &
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( -3|-45)
\quad P_2 = ( 1|3)
\quad P_3 = ( 3|27)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-x^2-9\,x+9 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-{{x^3}\over{3}}-{{9\,x^2}\over{2}}+9\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{-3}^{1} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{x^3}\over{3}}-{{9\,x^2}\over{2}}+9\,x \right]_{-3}^{1} \\ & = & ( 4.416 ) - (
- 38.25 ) = 42.66 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{3} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{x^3}\over{3}}-{{9\,x^2}\over{2}}+9\,x \right]_{1}^{3} \\ & = & ( - 2.25 ) - (
4.416 ) = - 6.666 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 42.66 | \mathrm{\;FE}
+ | - 6.666 | \mathrm{\;FE}
= 49.33 \mathrm{\;FE} \]