Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
Aufgabe Neue Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-7\,x^2+8\,x \\ g(x) & = & 8-6\,x \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = 1.438
\quad x_3 = 5.561
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = 1.333
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad H( 0.6666|2.518)
\quad T( 4|-16)
\\ g(x) : & \quad &
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( 1|2)
\quad P_2 = ( 2|-4)
\quad P_3 = ( 4|-16)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-7\,x^2+14\,x-8 \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-{{7\,x^3}\over{3}}+7\,x^2-8\,x \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{2} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{7\,x^3}\over{3}}+7\,x^2-8\,x \right]_{1}^{2} \\ & = & ( - 2.666 ) - ( - 3.083
) = 0.4166 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{2}^{4} h(x) \, dx & = & \left[
{{x^4}\over{4}}-{{7\,x^3}\over{3}}+7\,x^2-8\,x \right]_{2}^{4} \\ & = & ( - 5.333 ) - ( - 2.666
) = - 2.666 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 0.4166 | \mathrm{\;FE}
+ | - 2.666 | \mathrm{\;FE}
= 3.083 \mathrm{\;FE} \]