Fläche zwischen zwei ganzrationalen Funktionen
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Gegeben sind die Funktionen
\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^3-x^2 \\ g(x) & = & 2\,x^2-2\,x \end{eqnarray*}Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen
und
ermitteln Sie den Inhalt der von $f$ und $g$ insgesamt eingeschlossenen Fläche.
Nullstellen: Anzeigen
\begin{eqnarray*} f(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = 1
\\ g(x) : & &
\quad x_1 = 0
\quad x_2 = 1
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema/Sattelpunkte: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f(x) : & \quad &
\quad H( 0|0)
\quad T( 0.6666|-0.1481)
\\ g(x) : & \quad &
\quad T( 0.5|-0.5)
\end{eqnarray*}
Schnittpunkte: Anzeigen
\[
\quad P_1 = ( 0|0)
\quad P_2 = ( 1|0)
\quad P_3 = ( 2|4)
\]
Graph: Anzeigen
Differenzfunktion: Anzeigen
\[ h(x) = f(x) -g(x) = x^3-3\,x^2+2\,x \]
Stammfunktion: Anzeigen
\[ H(x) = {{x^4}\over{4}}-x^3+x^2 \]
Teilintegrale: Anzeigen
\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1} h(x) \, dx & = & \left[ {{x^4}\over{4}}-x^3+x^2
\right]_{0}^{1} \\ & = & ( 0.25 ) - ( 0 ) = 0.25 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{2} h(x) \, dx & = & \left[ {{x^4}\over{4}}-x^3+x^2
\right]_{1}^{2} \\ & = & ( 0 ) - ( 0.25 ) = - 0.25 \end{eqnarray*}
Flächenberechnung: Anzeigen
\[ A =
| 0.25 | \mathrm{\;FE}
+ | - 0.25 | \mathrm{\;FE}
= 0.5 \mathrm{\;FE} \]