Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^4-32\,x^2+256 $
Ermitteln Sie die Eigenschaften der Funktion $f$ und skizzieren Sie den Graphen.
Nullstellen: Anzeigen
\[ \mathrm{Nullstellen: }
\quad x_1 = -4
\quad x_2 = 4
\]
Achsenschnittpunkte: Anzeigen
\[ \mathrm{Achsenschnittpunkte: } \quad
S_1( 0 | 2.56E+2 )
,\quad S_2( -4 | 0 )
,\quad S_3( 4 | 0 )
\]
Symmetrie: Anzeigen
$f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, da gilt: $f(x) = f(-x)$.
Verhalten im Unendlichen: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) & = & \infty \\
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) & = & \infty
\end{eqnarray*}
1 und 2. Ableitung: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f'(x) & = & 4\,x^3-64\,x \\ f''(x) & = & 12\,x^2-64
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
\mathrm{Tiefpunkt:} & \quad & T( - 4 | 0 )\\
\mathrm{Hochpunkt:} & \quad & H( 0 | 2.56E+2 )\\
\mathrm{Tiefpunkt:} & \quad & T( 4 | 0 )\\
\end{eqnarray*}
Wendepunkte: Anzeigen
\[
\mathrm{ Wendepunkt(e):}
\quad W_ 1 ( - 2.3 | 1.13E+2 )
\quad W_ 2 ( 2.3 | 1.13E+2 )
\]
Graph: Anzeigen
