Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = -0.5\,x^4+5\,x^2-4.5 $
Ermitteln Sie die Eigenschaften der Funktion $f$ und skizzieren Sie den Graphen.
Nullstellen: Anzeigen
\[ \mathrm{Nullstellen: }
\quad x_1 = -3
\quad x_2 = -1
\quad x_3 = 1
\quad x_4 = 3
\]
Achsenschnittpunkte: Anzeigen
\[ \mathrm{Achsenschnittpunkte: } \quad
S_1( 0 | -4.5 )
,\quad S_2( -3 | 0 )
,\quad S_3( -1 | 0 )
,\quad S_4( 1 | 0 )
,\quad S_5( 3 | 0 )
\]
Symmetrie: Anzeigen
$f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, da gilt: $f(x) = f(-x)$.
Verhalten im Unendlichen: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) & = & -\infty \\
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) & = & -\infty
\end{eqnarray*}
1 und 2. Ableitung: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
f'(x) & = & 10\,x-2\,x^3 \\ f''(x) & = & 10-6\,x^2
\end{eqnarray*}
Lokale Extrema: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
\mathrm{Tiefpunkt:} & \quad & T( 0 | - 4.5 )\\
\mathrm{Hochpunkt:} & \quad & H( - 2.23 | 8 )\\
\mathrm{Hochpunkt:} & \quad & H( 2.23 | 8 )\\
\end{eqnarray*}
Wendepunkte: Anzeigen
\[
\mathrm{ Wendepunkt(e):}
\quad W_ 1 ( - 1.29 | 2.44 )
\quad W_ 2 ( 1.29 | 2.44 )
\]
Graph: Anzeigen
