Nullstellen von Polynomfunktionen
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Gegeben sei die Funktion $f(x) = -x^4+5\,x^2-4 $
Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion $f$ und skizzieren Sie den Graphen.
Lesen Sie die Extrema und Wendepunkte vom Graphen ab.
Ansatz: Anzeigen
Polynomfunktion 4$.$ Grades mit geraden Exponenten:
Ansatz: Substitution $\quad z = x^2 \quad \longrightarrow \quad 0 = -z^2+5\,z-4$
Nullstellen: Anzeigen
\[ \mathrm{Nullstellen: }
\quad z_1 = 1
\quad z_2 = 4
\\[0.5em]
\quad x_1 = -2
\quad x_2 = -1
\quad x_3 = 1
\quad x_4 = 2
\]
Graph: Anzeigen
Lokale Extrema: Anzeigen
\begin{eqnarray*}
\mathrm{Tiefpunkt:} & \quad & T( 0 \,|\, -4 )\\
\mathrm{Hochpunkt:} & \quad & H( -1.58 \,|\, 2.25 )\\
\mathrm{Hochpunkt:} & \quad & H( 1.58 \,|\, 2.25 )\\
\end{eqnarray*}
Wendepunkte: Anzeigen
\[
\mathrm{ Wendepunkt(e):}
\quad W_ 1 ( -0.912 \,|\, -0.527 )
\quad W_ 2 ( 0.912 \,|\, -0.527 )
\]