Quadratische Funktion in Normalform durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
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Gegeben seien die Punkte $P_1(\, 0{,}5 \mid -1{,}25 \,)$ und
$P_2(\, -1 \mid 2{,}5 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der quadratischen Normalform durch $P_1$ und $P_2$.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & x^2 + p\cdot x + q \\[2mm] P_1:\; & -1{,}25 & = & 0{,}5 ^2 + p\cdot 0{,}5 + q \\[1mm] P_2:\; & 2{,}5 & = & (-1) ^2 + p\cdot (-1) + q \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Additionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcrcl}
I:\; & -1{,}25 & = & 0{,}25 &+& 0{,}5 p &+& q \\ II:\; & 2{,}5 & = & 1 &+& (-1) p &+& q \\ \hline II-I:\; & 3{,}75 & = & 0{,}75 &+& (-1{,}5) p &+& 0
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
3{,}75 & = & 0{,}75 + (-1{,}5) p & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] p & = & \underline{ -2 } & \\[2mm] [p \rightarrow I]\quad - 1{,}25 & = & 0{,}25 + (-2) \cdot 0{,}5
+ q & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] q & = & \underline{ -0{,}5 } & \\[2mm] f(x) & = & x^2-2\,x-0{,}5 & \\
\end{array}\]