Quadratische Funktion in Normalform durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
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Gegeben seien die Punkte $P_1(\, 4{,}5 \mid -1 \,)$ und
$P_2(\, 2{,}5 \mid 1 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der quadratischen Normalform durch $P_1$ und $P_2$.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & x^2 + p\cdot x + q \\[2mm] P_1:\; & -1 & = & 4{,}5 ^2 + p\cdot 4{,}5 + q \\[1mm] P_2:\; & 1 & = & 2{,}5 ^2 + p\cdot 2{,}5 + q \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Additionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcrcl}
I:\; & -1 & = & 20{,}25 &+& 4{,}5 p &+& q \\ II:\; & 1 & = & 6{,}25 &+& 2{,}5 p &+& q \\ \hline II-I:\; & 2 & = & -14 &+& (-2) p &+& 0
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
2 & = & -14 + (-2) p & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] p & = & \underline{ -8 } & \\[2mm] [p \rightarrow I]\quad - 1 & = & 20{,}25 + (-8) \cdot 4{,}5 + q & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm]
q & = & \underline{ 14{,}75 } & \\[2mm] f(x) & = & x^2-8\,x+14{,}75 & \\
\end{array}\]