Quadratische Funktion in Normalform durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
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Gegeben seien die Punkte $P_1(\, 1 \mid 4 \,)$ und
$P_2(\, -0{,}5 \mid 2{,}5 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der quadratischen Normalform durch $P_1$ und $P_2$.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & x^2 + p\cdot x + q \\[2mm] P_1:\; & 4 & = & 1 ^2 + p\cdot 1 + q \\[1mm] P_2:\; & 2{,}5 & = & (-0{,}5) ^2 + p\cdot (-0{,}5) + q \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Additionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcrcl}
I:\; & 4 & = & 1 &+& 1 p &+& q \\ II:\; & 2{,}5 & = & 0{,}25 &+& (-0{,}5) p &+& q \\ \hline II-I:\; & -1{,}5 & = & -0{,}75 &+& (-1{,}5) p &+& 0
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
-1{,}5 & = & -0{,}75 + (-1{,}5) p & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] p & = & \underline{ 0{,}5 } & \\[2mm] [p \rightarrow I]\quad 4 & = & 1 + 0{,}5 \cdot 1 + q & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm]
q & = & \underline{ 2{,}5 } & \\[2mm] f(x) & = & x^2+0{,}5\,x+2{,}5 & \\
\end{array}\]