Quadratische Funktion in Normalform durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
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Gegeben seien die Punkte $P_1(\, -1 \mid 3{,}5 \,)$ und
$P_2(\, 4 \mid 1 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der quadratischen Normalform durch $P_1$ und $P_2$.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & x^2 + p\cdot x + q \\[2mm] P_1:\; & 3{,}5 & = & (-1) ^2 + p\cdot (-1) + q \\[1mm] P_2:\; & 1 & = & 4 ^2 + p\cdot 4 + q \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Additionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcrcl}
I:\; & 3{,}5 & = & 1 &+& (-1) p &+& q \\ II:\; & 1 & = & 16 &+& 4 p &+& q \\ \hline II-I:\; & -2{,}5 & = & 15 &+& 5 p &+& 0
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
-2{,}5 & = & 15 + 5 p & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] p & = & \underline{ -3{,}5 } & \\[2mm] [p \rightarrow I]\quad 3{,}5 & = & 1 + (-3{,}5) \cdot (-1) + q & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm]
q & = & \underline{ -1 } & \\[2mm] f(x) & = & x^2-3{,}5\,x-1 & \\
\end{array}\]