Quadratische Funktion in Normalform durch 2 Punkte (Rekonstruktion)
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Gegeben seien die Punkte $P_1(\, 3{,}5 \mid 1{,}5 \,)$ und
$P_2(\, -1{,}5 \mid -3{,}5 \,)$.
Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der quadratischen Normalform durch $P_1$ und $P_2$.
Allgemeiner Ansatz, Einsetzen der Punkte: Anzeigen
\[\begin{array}{rrcl}
& y & = & x^2 + p\cdot x + q \\[2mm] P_1:\; & 1{,}5 & = & 3{,}5 ^2 + p\cdot 3{,}5 + q \\[1mm] P_2:\; & -3{,}5 & = & (-1{,}5) ^2 + p\cdot (-1{,}5) + q \\[1mm]
\end{array}\]
Lösung des Gleichungssystems (Additionsverfahren): Anzeigen
\[\begin{array}{rrcrcrcl}
I:\; & 1{,}5 & = & 12{,}25 &+& 3{,}5 p &+& q \\ II:\; & -3{,}5 & = & 2{,}25 &+& (-1{,}5) p &+& q \\ \hline II-I:\; & -5 & = & -10 &+& (-5) p &+& 0
\end{array}\]
\[\begin{array}{rcll}
-5 & = & -10 + (-5) p & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] p & = & \underline{ -1 } & \\[2mm] [p \rightarrow I]\quad 1{,}5 & = & 12{,}25 + (-1) \cdot 3{,}5
+ q & \quad\mid\;\;[\dots] \\[.5mm] q & = & \underline{ -7{,}25 } & \\[2mm] f(x) & = & x^2-1\,x-7{,}25 & \\
\end{array}\]